集合、映射和函数
集合
集合列子：
- 某特定时间上，某城市的树的种类
非集合例子
- 100个同批次同型号的乒乓球。 无法区别（元素互异性）
- 一个城市的好人（不确定性）
集合中的元素是坐标系中的点
- {(x,y)|x+y<3}
集合有包含关系。 子集： 所有元素都是 某集合。
真子集（ 集合不相等)
映射
设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f:A->B，使得对于任意a∈A，都有f(a)∈B，则称f为A到B的映射。记作f:A→B。
b 称为元素 a 在映射 f 下的像记为 b = f(a)。
a 称为元素 b 在映射 f 上的原像
A 称为映射 f 的定义域，记作 D(f)
A 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域，记作 R(f)
- 映射三要素： 定义域，值域，对应法则
- 定义域 D(f) = A
- 值域 R(f) ∈ B
- 对于每个 a ∈ A ,元素 a 的像 b 唯一
- 对应每个b ∈ R(f) ,元素 b 的原像不一定唯一。
满射 、单射 、一一映射
逆映射
- 设f 是 A到B 的双射，那么存在一个映射 g:B→A，使得g(f(a))=a,g(b)=f(g(b))
对每个 b ∈ B ,规定g(b) = a, 这 a 满足f(a)=b
g 称为 f 的逆映射。记为 g=f^(-1)，定义域 D(g) = B, 值域 R(g) = A
函数
设数集D ∈ R ,则称映射f : D → R 为定义在 D上的函数。记为 y=f(x),x ∈ D，x 称为自变量，y 称为因变量， D称为定义域
反函数
设映射 f： D->E为双射(D∈R,E∈R)
则它的逆映射 f-1 : E->D称为 f 的反函数。
f(x)=x²
f-1(x)=sqrt(x)
函数单调性
函数奇偶性
奇函数： f(x)=-f(-x) ，图像关于原点对称
偶函数: f(x)=f(-x) ,图像关于 y 轴对称。
函数的周期性
基本初等函数
- 幂函数 y=x^n (n∈R ，常数)
- 指数函数 y=a^x (a>0，且 a!=1)
- 对数函数 y=log_a(x) (a>0，且 a!=1)
- 三角函数 y=sin(x) ,y=cos(x) ,y=tan(x)等
- tan(x) =sin(x) / cos(x)
- 反三角函数 y=arcsin(x)、y=arccos(x)、y=arctan(x)等
一次函数
二次函数
- y=ax²+bx+c
- 对称轴: -b/2a
- a > 0 开口向上 ,(-♾️,-b/2a) 单调递减. （-b/2a,+♾️) 单调递增 ,最小值 (4ac-b²)/4a
- a < 0 开口向下 ,(-♾️,-b/2a) 单调递增. （-b/2a,+♾️) 单调递减 ,最大值 (4ac-b²)/4a
二次函数简单应用实例
-
桥梁建筑设计
-
篮球、排球落点
-
经济学的投资分析，售价定价
-
某商品进价 80元，按 100元出售，一天可卖 60件，经时长调查，该商品每降价 1 元，销量增加 5 件，求该商品售价多少，利润最大。
设定 商品售价x,每天售出为60+5(100-x)
y= (x-80)*(60+5(100-x)) = -5x^2+960x-44800
当 x=96时，y 取得最大值。
对数函数
y=log_a(x) (a >0, a!=1)
常用公式
log_a(x1)+log_a(x2) =log_a(x2*x1) , log_2(4)+log_2(8) = log_2(32)=5
log_a(x1)-log_a(x2) =log_a(x1/x2), log_2(4) -log_2(8) = log_2(1/2) = -1
log_a^m (x^n) =n/m log_a(x) , log_2^3(8^2) = 2/3 log_2(8)= 2
log_a(x) = log_b(x)/log_b(a) ,log_32(64) = log_2(64) / log_2(32) = 6/5
正弦函数
y=a*sin(ωx+φ) a(a>0) 振幅，w 频率， φ初始相位
傅里叶级数
应用：通信、电子等和电有关的领域。
最小正周期 T = 2π/ω ,有界 y∈[-|a|,|a|]
对称轴处取得极值
wx+φ=π/2 +2kπ , 取得极大值，k ∈ Z
wx+φ=-π/2 +2kπ ,取得 极小值，k ∈ Z
余弦函数
y=a * cos(wx+φ) , a(a>0) 振幅，w 频率， φ初始相位
物理应用领域。
最小正周期 T = 2π/ω ,有界 y∈[-|a|,|a|]
wx+φ=2kπ, 取得极大值，k ∈ Z
wx+φ=π+2kπ, 取得极小值，k ∈ Z
参数方程
x=2t
y = 3t^2 ，去除参数 t
得到 y=3/4x^2,二者等价
极坐标系
x=rcosθ,
y=rsinθ
描述与角度有关的曲线会更简洁
极值
无穷小
无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。
无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。
特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
无穷小
1 因为 lim(x-2)=0 ,所以函数(x-2) 为 x->2的时的无穷小
2 x->2
3
4 因为 lim(x-2)^2=0 ,所以函数(x-2)^2 为 x->2的时的无穷小
5 x->2
极限存在的充要条件
- 在自变量的同意变化中x->x0 或x->∞时，函数值f(x)具有极限 A的充要条件是f(x)=A+α,其中α是无穷小
- f(x)=1+1/x+2/x^2 =1+α(x)
1lim α(x) = lim(1/x+2/x^2) = 0
2x->∞ x->∞
3
4lim(1+ 1/x+2/x^2) = 1
5x->∞
无穷大
https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%A7/9508460?fr=ge_ala
- 在自变量的同一变化过程中，如果 f(x)为无穷大，那么1/f(x) 为无穷小。
- 如果 f(x)为无穷小，且f(x) !=0 , 那么1/f(x) 为无穷大。
极限
极限就是研究自变量无限接近一个数或其绝对值无限增大时，函数值是否会无限接近一个数
lim 就是极限
极限运算法则
- 有限个无穷小之和 仍然是无穷小
- 有限函数与无穷小的积仍然是无穷小
- 有限个无穷小之积仍然是无穷小
- 如果 lim g(x) 存在，c 为常数，则 lim[c g(x)] = c lim g(x)
- 如果 lim g(x)存在，n 为正整数，则 lim [g(x)]^n=[lim g(x)]^n
- 有数列{a_n},{b_n} 如果 lim a_n=A, lim b_n=B, n->∞.
- lim(a_n +_ b_n) = A+B
- lim(a_n . b_n ) =A.B
- 当b_n!=0 (n=1,2,3….) 且 B!=0 时，lim (a_n/b_n) = A/B
极限存在准则
- 若数列{a_n} 、 {b_n}、{c_n} 满足从某项n_0开始起，当 n > n_0 时， a_n <= b_n <=c_n ,且 lim a_n = m ,lim c_n=m ,则{b_n}极限存在且 lim b_n = m
- 单调有界数列必有极限
- 两个重要结论
1lim(1+1/x)^x = e
2x->∞
3
4lim(1+y)^(1/y) = e
5y->0
6
7
8lim sin(x) /x = 1
9x->0
无穷小比较
- 若 lim b/a = 0 则 b 是比 a 高阶的无穷小，记为b=O(a)
- 若 lim b/a= ∞ 则 b 是比 a 低阶的无穷小
- 若 lim b/a=c, !=0 ,则 b 与 a 同阶无穷小
- 若lim b/a=1 ,则 b 与 a 等阶无穷小，记为a~b
- 若lim b/a^m = c ,!=0 ,m>0 ,则 b 是关于 a 的 m 阶无穷小。
log_a(e)= 1/ ln_a
常用结论
- log_a(1+x) ~ 1/ln_a . x
- ln(1+x) ~ x
- a^x -1 ~ ln_a . x
- e^x -1 ~x
- (1+x)^a -1 ~ ax
极限与函数连续性
- 某点处连续性判断，左极限=右极限=该点函数值
- 一切初等函数在其定义域区间内都是连续的
导数的定义
切线 y=f(x)=0.1x^2
割线斜率 = (f(x + h) - f(x)) / h
切线斜率:
1lim (f(x+h)-f(x))/h
2h->0
斜率绝对值越大，直线越陡峭
导数的定义
1导数 f'(x0) = lim (f(x0+h)-f(x0))/h , h->0
2所有点的导数构成导函数 f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h , h->0
3导数是平均变化率的极限
4
5y=f(x) 的导数可以记为y'、f'(x) 、dy/dx、 df(x)/dx
可导与连续，可导一定连续
1 f'(x0) = lim (f(x0+h)-f(x0))/h , h->0
2 (f(x0+h)-f(x0))/h = f'(x0) +@(h)
3f(x0+h)-f(x0) = f'(x0)h+@(h)h
4
5lim |f(x0+h)-f(x0) | = lim | f'(x0)h+@(h)h | =0 ,h->0
常见函数的导数
导数四则元算
求导
导数求极值:
- 导数为 0 的时候是函数的极值点
- 求函数 y=x^2 -4x +5 的极小值
求导法:对x求导,另 y’=2x-4 =0 ； x=2
y=1 就是极小值
偏导
多元函数求导， 把其他变量都看作常数
向量和矩阵
向量
范数
矩阵
余弦定理
非直角三角形
A角对ａ边，B角对ｂ边，C角对ｃ边
cosC = a^2+b^2-c&2 / 2ab
cosB = a^2+c^2 - b^2/2ac
cosA = c^2+b^2 - a^2/2bc
余弦定理向量式
cos(theta) ＝ (a.b)/(||a||2.||b||2)
cos(theta) = (a向量 . b向量) / ((ａ向量l2范数).(b向量l2范数))
如：(3,2,3) 和 (4,2,3)
cos(theta) = (12+4+9) / (sqrt(9+4+9) .(sqrt(16+4+9))) = 25/(sqrt(22).sqrt(29)) = 0.9897